因数分解とは、変形して多項式の積の形にすることです。つまり、展開の逆の作業になります。解き方は以下のようにします。
1. 共通因数でくくる
多項式のすべての項に共通の因数がある場合、その因数をくくり出します。
例: (6x3 + 9x2)
解:
6x3 + 9x2 = 3x2(2x + 3)
2. 因数分解公式の利用
1. 二次式の因数分解
公式:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
例: (x2 – 9)
解:
x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
例: (x2 + 6x + 9)
解:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
2. 三次式の因数分解
公式:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
例: (x3 – 8)
解:
x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4)
3. 完全平方完成を利用する
二次式を平方の形に書き直して因数分解します。
例: (x2 + 4x + 4)
解:
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
これ以外にも、平方完成を行い(A)2ー(B)2の形を作って因数分解へもっていくこともできます。
4. 置き換えを利用する
複雑な多項式を単純な形に置き換えて因数分解します。
例: (x4 – 4x2)
解:
- (y = x2) と置き換える。
y2 – 4y - 因数分解する。
y(y – 4) - 元に戻す。
x2(x2 – 4) = x2(x + 2)(x – 2)
5. 係数を使った二次式の因数分解
二次方程式 (ax2 + bx + c) を因数分解するために、係数を使って因数分解します。
例: (2x2 + 5x + 3)
解:
- 二数の積が (a × c) になり、和が (b) になるように数を探す。
2 × 3 = 6, 和が 5 になる数は 2 と 3 - 中間項を分解して、共通因数でくくる。
2x2 + 5x + 3 = 2x2 + 2x + 3x + 3
= 2x(x + 1) + 3(x + 1) - 因数分解する。
= (2x + 3)(x + 1)
具体例と演習問題
例題 1: (x2 – 4x + 4) を因数分解しなさい。
解:
x2 – 4x + 4 = (x – 2)2
例題 2: (x3 + 27) を因数分解しなさい。
解:
x3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 9)
例題 3: (6x2 – 15x) を因数分解しなさい。
解:
6x2 – 15x = 3x(2x – 5)
まとめ
因数分解は、多項式を積の形に書き直す方法です。以下の手法を使って因数分解します:
- 共通因数でくくる。
- 因数分解公式を利用する。
- 完全平方完成を利用する。
- 置き換えを利用する。
- 係数を使って因数分解する。
これらの方法を使うことで、多項式の因数分解が簡単に行えます。