三次式の展開には、主に次の4つの公式を使います。
1. 和と差の立方公式
- (a + b)3の展開
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - (a – b)3 の展開
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
2. 立方の和と差の因数分解公式
- (a3 + b3) の因数分解
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) - (a3 – b3) の因数分解
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
例題と解法
例題 1: (x + 2)3 の展開
公式: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
解:
- (a = x), (b = 2)
- 公式に代入します。
(x + 2)3 = x3 + 3x2 × 2 + 3x × 22 + 23 - 計算します。
= x3 + 6x2 + 12x + 8
したがって、(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 です。
例題 2: (2x – 3)3 の展開
公式: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
解:
- (a = 2x), (b = 3)
- 公式に代入します。
(2x – 3)3 = (2x)3 – 3(2x)2 × 3 + 3(2x) × 32 – 33 - 計算します。
= 8x3 – 3 × 4x2 × 3 + 3 × 2x × 9 – 27
= 8x3 – 36x2 + 54x – 27
したがって、(2x – 3)3 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 です。
例題 3: (x + 1)(x2 – x + 1) の展開
この例題は、因数分解の公式ではなく、積の展開によって解く問題です。
解:
- 各項を分配します。
(x + 1)(x2 – x + 1) - 各項を掛け合わせます。
x(x2 – x + 1) + 1(x2 – x + 1)
= x3 – x2 + x + x2 – x + 1
] - 同類項をまとめます。
= x3 + 0x2 + 0x + 1
= x3 + 1
したがって、(x + 1)(x2 – x + 1) = x3 + 1 です。
まとめ
三次式の展開には、以下の公式を覚えていても計算が難しいかも!?問題をたくさん解いておくことをおすすめします!!
1. 和と差の立方公式
- (a + b)3の展開
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - (a – b)3 の展開
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
2. 立方の和と差の因数分解公式
- (a3 + b3) の因数分解
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) - (a3 – b3) の因数分解
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)