６．置き換えを利用した展開

置き換えを利用することで複雑な式の展開や因数分解が簡単になることがあります。この方法は特に対称的な形や、式が複雑に見える場合に便利です。以下に具体的な例を通じて解説します。

置き換えを利用した展開と因数分解

例題 1: (x + 2)3 + (x + 2)2(x – 3) の展開

この式は、置き換えを使うと簡単に展開できます。

解:

1. (x + 2) を一時的に新しい変数 (Y) に置き換えます。
   Y = x + 2
   
2. 置き換え後の式を展開します。
   Y³ + Y²(x – 3)
   
3. 元の変数に戻すために、再び (Y = x + 2) を代入します。
   (x + 2)³ + (x + 2)²(x – 3)
   
4. (Y = x + 2) のまま展開を進めます。
   Y³ + Y²(x – 3) = Y³ + Y²x – 3Y²
   
5. 元の変数に戻します。
   (x + 2)³ + (x + 2)²(x – 3) = (x + 2)³ + (x + 2)²(x – 3)
   展開すると、
   = (x + 2)³ + (x + 2)²(x – 3)
   = (x + 2)³ + (x² + 4x + 4)(x – 3)
   = (x + 2)³ + x³ – 3x² + 4x² – 12x + 4x – 12
   = x³ + 6x² + 12x + 8 + x³ + x² – 8x – 12
   = 2x³ + 7x² + 4x – 4
   

したがって、結果は 2x³ + 7x² + 4x – 4 です。

例題 2: (x4 – 2x2 + 1) の因数分解

この式は、置き換えを使うと簡単に因数分解できます。

解:

1. (x²) を一時的に新しい変数 (y) に置き換えます。
   y = x²
2. 置き換え後の式を因数分解します。
   y² – 2y + 1
   
3. 因数分解します。
   y² – 2y + 1 = (y – 1)²
   
4. 元の変数に戻します。
   (x² – 1)²
   

したがって、結果は (x² – 1)² です。さらに因数分解すると、
(x² – 1)² = (x – 1)²(x + 1)²

例題 3: (x2 + 2x + 1)(x2 – 2x + 1) の展開

この式も、置き換えを使うと簡単に展開できます。

解:

1. (x² + 1) を一時的に新しい変数 (y) に置き換えます。
   y = x² + 1
   
2. 置き換え後の式を展開します。
   (y + 2x)(y – 2x)
   
3. 展開します。
   y² – (2x)²
   
4. 元の変数に戻します。
   (x² + 1)² – 4x²
   
5. 展開を完了します。
   (x² + 1)² – 4x² = x² + 2x² + 1 – 4x² = x⁴ – 2x² + 1
   

したがって、結果は x⁴ – 2x² + 1 です。

まとめ

置き換えを利用することで、複雑な多項式の展開や因数分解が簡単になります。特に、以下の手順に従うと効果的です。

1. 式の一部を新しい変数に置き換える。
2. 置き換えた式で計算を行う。
3. 最後に元の変数に戻す。

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