3次式の因数分解の解き方
共通因数でくくる
多項式に共通因数がある場合、その因数をくくり出します。
例: \(x^3 – 3x^2 + 3x\)
\[ x^3 – 3x^2 + 3x = x(x^2 – 3x + 3) \]
因数分解公式の利用
以下の因数分解公式を使うことができます：
- \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\)
- \(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\)
例: \(x^3 – 8\)
\[ x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \]
因数定理を使う
因数定理を使うと、3次式の根を見つけて因数分解できます。多項式 \(P(x)\) の根 \(r\) が見つかると、\((x – r)\) は \(P(x)\) の因数になります。
例: \(x^3 + 2x^2 – 5x – 6\)
- 根を探すために \(x = 1, -1, 2, -2, 3, -3\) を試します。
\[ P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 – 5(-1) – 6 = -1 + 2 + 5 – 6 = 0 \quad (\text{根である}) \]
- \(x = -1\) は根であるため、因数 \((x + 1)\) があります。
- 長除法または合成除法を使って \((x^3 + 2x^2 – 5x – 6)\) を \((x + 1)\) で割ります。
\[ \begin{array}{r|rrrr} & 1 & 2 & -5 & -6 \\ -1 & & -1 & -1 & 6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \\ \end{array} \]
結果として、商は \(x^2 + x – 6\) になります。
- \(x^2 + x – 6\) を因数分解します。
\[ x^2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) \]
- 最終的な因数分解は：
\[ x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = (x + 1)(x + 3)(x – 2) \]
因数分解の手順まとめ
例題: \(2x^3 + 3x^2 – 8x – 12\)
- 根を探すために \(x = 1, -1, 2, -2, 3, -3\) を試します。
\[ P(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 – 8(2) – 12 = 0 \quad (\text{根である}) \]
- \(x = 2\) は根であるため、因数 \((x – 2)\) があります。
- 長除法または合成除法を使って \((2x^3 + 3x^2 – 8x – 12)\) を \((x – 2)\) で割ります。
\[ \begin{array}{r|rrrr} & 2 & 3 & -8 & -12 \\ 2 & & 4 & 14 & 12 \\ \hline & 2 & 7 & 6 & 0 \\ \end{array} \]
結果として、商は \(2x^2 + 7x + 6\) になります。
- (2x^2 + 7x + 6\) を因数分解します。
[ 2x^2 + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2)
- 最終的な因数分解は：
2x^3 + 3x^2 – 8x – 12 = (x – 2)(2x + 3)(x + 2)
