８．因数分解の方法(1)

因数分解とは、変形して多項式の積の形にすることです。つまり、展開の逆の作業になります。解き方は以下のようにします。

1. 共通因数でくくる

多項式のすべての項に共通の因数がある場合、その因数をくくり出します。

例: (6x³ + 9x²)

解:
6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3)

2. 因数分解公式の利用

1. 二次式の因数分解

公式:
a² – b² = (a + b)(a – b)
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

例: (x² – 9)

解:
x² – 9 = (x + 3)(x – 3)

例: (x² + 6x + 9)

解:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

2. 三次式の因数分解

公式:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

例: (x³ – 8)

解:
x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4)

3. 完全平方完成を利用する

二次式を平方の形に書き直して因数分解します。

例: (x² + 4x + 4)

解:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²

これ以外にも、平方完成を行い(A)²ー(B)²の形を作って因数分解へもっていくこともできます。

4. 置き換えを利用する

複雑な多項式を単純な形に置き換えて因数分解します。

例: (x⁴ – 4x²)

解:

1. (y = x²) と置き換える。
   y² – 4y
   
2. 因数分解する。
   y(y – 4)
   
3. 元に戻す。
   x²(x² – 4) = x²(x + 2)(x – 2)

5. 係数を使った二次式の因数分解

二次方程式 (ax² + bx + c) を因数分解するために、係数を使って因数分解します。

例: (2x² + 5x + 3)

解:

1. 二数の積が (a × c) になり、和が (b) になるように数を探す。
   2 × 3 = 6, 和が 5 になる数は 2 と 3
   
2. 中間項を分解して、共通因数でくくる。
   2x² + 5x + 3 = 2x² + 2x + 3x + 3
   = 2x(x + 1) + 3(x + 1)
   
3. 因数分解する。
   = (2x + 3)(x + 1)
   

具体例と演習問題

例題 1: (x² – 4x + 4) を因数分解しなさい。

解:
x² – 4x + 4 = (x – 2)²

例題 2: (x³ + 27) を因数分解しなさい。

解:
x³ + 27 = (x + 3)(x² – 3x + 9)

例題 3: (6x² – 15x) を因数分解しなさい。

解:
6x² – 15x = 3x(2x – 5)

まとめ

因数分解は、多項式を積の形に書き直す方法です。以下の手法を使って因数分解します：

1. 共通因数でくくる。
2. 因数分解公式を利用する。
3. 完全平方完成を利用する。
4. 置き換えを利用する。
5. 係数を使って因数分解する。

これらの方法を使うことで、多項式の因数分解が簡単に行えます。