３．単項式×単項式と多項式×多項式の計算

単項式の掛け算

単項式同士の掛け算は、次の手順で行います：

1. 係数（数字）を掛け合わせる: それぞれの単項式の数値の部分を掛けます。
2. 同じ変数の指数を足す: それぞれの単項式の変数部分の指数を足します。

例:
次の単項式 (3x²y) と (4xy³) を掛けます。

1. 係数を掛け合わせる:
   3 × 4 = 12
   
2. 同じ変数の指数を足す:
   x² × x = x^{2+1} = x³
   y × y³ = y^{1+3} = y⁴
   

したがって、結果は
3x²y × 4xy³ = 12x³y⁴

多項式の乗算

多項式同士の乗算は、分配法則を使って全ての項を展開します。

1. 分配法則を適用する: 各項をそれぞれの項と掛け合わせます。
2. 同類項をまとめる: 同類項があればまとめます。

例1：多項式×単項式

次の多項式 ( 2x² + 3x + 4 ) と単項式 ( x ) を掛けます。

1. 各項に単項式を掛ける:
   x × (2x² + 3x + 4) = 2x² × x + 3x × x + 4 × x
   
2. 各項を計算する:
   = 2x³ + 3x² + 4x
   

したがって、結果は (2x³ + 3x² + 4x) です。

例2：多項式×多項式

次の多項式 (x + 2) と (x² + 3x + 4) を掛けます。

1. 分配法則を適用する:
   (x + 2)(x² + 3x + 4)
   各項に対して次のように展開します：
   x × (x² + 3x + 4) + 2 × (x² + 3x + 4)
   
2. 各項を計算する:
   x × x² + x × 3x + x × 4 + 2 × x² + 2 × 3x + 2 × 4
   = x³ + 3x² + 4x + 2x² + 6x + 8
   
3. 同類項をまとめる:
   = x³ + (3x² + 2x²) + (4x + 6x) + 8
   = x³ + 5x² + 10x + 8

したがって、結果は (x³ + 5x² + 10x + 8) です。

具体例と演習問題

例題 1: 単項式同士の乗算
(5x²y) × (3xy³)

解:

1. 係数を掛け合わせる:
   5 × 3 = 15
   
2. 同じ変数の指数を足す:
   x² × x = x^{2+1} = x³
   y × y³ = y^{1+3} = y⁴

したがって、結果は (15 x³y⁴) です。

例題 2: 多項式×多項式
(x + 3)(x² – 2x + 1)

解:

1. 分配法則を適用する:
   (x + 3)(x² – 2x + 1) = x(x² – 2x + 1) + 3(x² – 2x + 1)
   
2. 各項を計算する:
   = x³ – 2x² + x + 3x² – 6x + 3
   
3. 同類項をまとめる:
   = x³ + (-2x² + 3x²) + (x – 6x) + 3
   = x³ + x² – 5x + 3
   

これで単項式同士および多項式同士の乗算について理解できたと思います！多項式で変数も2種類以上になってくると計算がややこしいですが、一つ一つやっていけば必ず解けます！今日もお疲れさまでした！