５．公式を使った三次式の展開

三次式の展開には、主に次の4つの公式を使います。

1. 和と差の立方公式

1. (a + b)³の展開
   (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
   
2. (a – b)³ の展開
   (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

2. 立方の和と差の因数分解公式

1. (a³ + b³) の因数分解
   a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
   
2. (a³ – b³) の因数分解
   a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
   

例題と解法

例題 1: (x + 2)3 の展開

公式: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

解:

1. (a = x), (b = 2)
2. 公式に代入します。
   (x + 2)³ = x³ + 3x² × 2 + 3x × 2² + 2³
3. 計算します。
   = x³ + 6x² + 12x + 8

したがって、(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 です。

例題 2: (2x – 3)3 の展開

公式: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

解:

1. (a = 2x), (b = 3)
2. 公式に代入します。
   (2x – 3)³ = (2x)³ – 3(2x)² × 3 + 3(2x) × 3² – 3³
   
3. 計算します。
   = 8x³ – 3 × 4x² × 3 + 3 × 2x × 9 – 27
   = 8x³ – 36x² + 54x – 27

したがって、(2x – 3)³ = 8x³ – 36x² + 54x – 27 です。

例題 3: (x + 1)(x2 – x + 1) の展開

この例題は、因数分解の公式ではなく、積の展開によって解く問題です。

解:

1. 各項を分配します。
   (x + 1)(x² – x + 1)
   
2. 各項を掛け合わせます。
   x(x² – x + 1) + 1(x² – x + 1)
   = x³ – x² + x + x² – x + 1
   ]
3. 同類項をまとめます。
   = x³ + 0x² + 0x + 1
   = x³ + 1

したがって、(x + 1)(x² – x + 1) = x³ + 1 です。

まとめ

三次式の展開には、以下の公式を覚えていても計算が難しいかも！？問題をたくさん解いておくことをおすすめします！！

1. 和と差の立方公式

1. (a + b)³の展開
   (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
   
2. (a – b)³ の展開
   (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

2. 立方の和と差の因数分解公式

1. (a³ + b³) の因数分解
   a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
   
2. (a³ – b³) の因数分解
   a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)